Modèle de Verhulst

Préambule

Le modèle de Verhulst permet de modéliser des phénomènes de croissance d'une quantité.
La croissance ainsi modélisée commence rapidement, puis ralentit au fur et à mesure que la quantité se rapproche d’une valeur limite.
Ce modèle est utilisé pour décrire des phénomènes de croissance limitée, comme dans le cas de croissances de populations soumises à des ressources finies.

La population au temps \(t\) est donnée par une fonction \(P\) du type \(P(t) = \dfrac{K}{1 + A \text e^{-k t}}\) où :

• \(K\) est la valeur limite (capacité maximale) ;
  
• \(A\) est une constante qui dépend des conditions initiales ;
  
• \(k\) est un coefficient de croissance (positif).
  

Énoncé

Une population de bactéries se développe dans un milieu limité. On modélise son évolution par la fonction suivante : \(P(t) = \dfrac{2~000}{1 + A\text e^{-0{,}8t}}\) où \(P(t)\) est le nombre de bactéries à l’instant \(t\), exprimé en heures et \(A\) est une constante à déterminer.

On donne ci-dessous la courbe représentative de \(P\) dans un repère. 

1. À l'aide du tracé, conjecturer la valeur limite \(K\) (capacité maximale) et la traduire en termes de limite de la fonction \(P\). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
2. À l'aide de la représentation graphique, expliquer pourquoi la constante \(A\) est égale à \(9\). Dans la suite de l'exercice, on admettra que \(A\) est égale à \(9\).
3. Déterminer le nombre de bactéries au bout de \(6\) heures, arrondir à l'unité près.
4. On admet que \(P\) est dérivable pour tout réel positif. Montrer que la dérivée de \(P\) est donnée par la fonction \(P'\) définie pour tout réel positif par : \(P'(t) = \dfrac{14~400 ~ \text e^{-0{,}8t}}{(1 + 9~\text e^{-0{,}8t})^2}\).
5. Déterminer l’instant \(t\) où la population atteint la moitié de sa valeur limite. Arrondir le résultat à la minute près.